Постройте график функции y = x² − 2x − 8. Найдите с помощью графика: а) значение y при x = −1,5; б) значения x, при которых y = 3; в) нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0; г) промежуток, в котором функция возрастает.

Приведём функцию к виду, позволяющему определить вершину: \(y=x^2-2x-8=(x-1)^2-9\). Парабола направлена вверх, её вершина — \((1;-9)\). Нули функции: \((x-4)(x+2)=0\), откуда \(x=-2\) и \(x=4\).

а) При \(x=-1.5\): \(y=(-1.5)^2-2\cdot(-1.5)-8=2.25+3-8=-2.75\).

б) Приравняем функцию к 3: \(x^2-2x-8=3\), то есть \(x^2-2x-11=0\). Тогда \(x=1\pm2\sqrt{3}\).

в) Поскольку парабола направлена вверх и пересекает ось \(x\) в точках \(-2\) и \(4\), функция положительна при \(x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty)\), а отрицательна при \(x\in(-2;4)\).

г) До вершины функция убывает, после вершины возрастает. Поэтому она возрастает при \(x\in[1;+\infty)\).

Ответ: а) −2,75; б) \(x=1-2\sqrt{3}\) или \(x=1+2\sqrt{3}\); в) нули: −2 и 4; \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty)\), \(y<0\) при \(x\in(-2;4)\); г) функция возрастает при \(x\in[1;+\infty)\).