Постройте график функции y = { x²+4x-1, если x≥-4; x, если x<-4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Функция задана кусочно. Построим график, рассматривая каждую часть.

1. Первая часть: \( y = x^2 + 4x - 1 \) при \( x \ge -4 \). Это парабола. Найдем вершину параболы: \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \). \( y_в = (-2)^2 + 4(-2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5 \). Вершина параболы в точке \( (-2, -5) \). Так как \( x \ge -4 \), то ветви параболы будут идти от \( x = -4 \) до \( \infty \).
2. Вторая часть: \( y = x \) при \( x < -4 \). Это прямая линия.
3. График:
   • Для \( x = -4 \) по первой части: \( y = (-4)^2 + 4(-4) - 1 = 16 - 16 - 1 = -1 \). Точка \( (-4, -1) \).
   • Для \( x = -4 \) по второй части: \( y = -4 \). Точка \( (-4, -4) \) (эта точка не включается в график).
   • Вершина параболы: \( (-2, -5) \).
   • Значение \( y \) при \( x = 0 \): \( y = 0^2 + 4(0) - 1 = -1 \). Точка \( (0, -1) \).
4. Анализ графика: Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия.
• Если \( m < -5 \), прямая не пересекает график.
• Если \( m = -5 \), прямая касается вершины параболы, 1 точка пересечения.
• Если \( -5 < m < -4 \), прямая пересекает две ветви параболы, 2 точки пересечения.
• Если \( m = -4 \), прямая пересекает одну ветвь параболы и точку \( (-4, -1) \) (или точку, где \( y=x \) стремится к -4, но не достигает ее), 2 точки пересечения.
• Если \( -4 < m < -1 \), прямая пересекает одну ветвь параболы и прямую \( y=x \), 2 точки пересечения.
• Если \( m = -1 \), прямая пересекает одну ветвь параболы в двух точках (одна из них \( (0, -1) \)) и прямую \( y=x \) в точке \( (-1, -1) \), 3 точки пересечения.
• Если \( m > -1 \), прямая пересекает одну ветвь параболы и прямую \( y=x \), 2 точки пересечения.

Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно две общие точки с графиком, необходимо, чтобы \( m \) находилось в интервале \( (-5, -4) \) (пересекает две ветви параболы) или \( m > -1 \) (пересекает одну ветвь параболы и прямую \( y=x \)).

Ответ: \( m \in (-5, -4) \cup (-1, \infty) \).