Постройте график функции Определите, при каких значениях т прямая у=т не имеет с графиком ни одной общей точки.

Рассмотрим функцию $$ y=\frac{(0,5x^2-2x)\cdot |x|}{x-4} $$

Преобразуем выражение: $$ y=\frac{\frac{1}{2}x(x-4)|x|}{x-4} $$

При $$x
e 4$$ получаем $$ y = \frac{1}{2}x|x| $$

Раскроем модуль:

Если $$ x \ge 0 $$, то $$ y = \frac{1}{2}x^2 $$

Если $$ x < 0 $$, то $$ y = -\frac{1}{2}x^2 $$

Итого, функция имеет вид: $$ y = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2, x \ge 0, x
e 4 \\ -\frac{1}{2}x^2, x < 0 \end{cases} $$

Построим график функции. Это парабола с вершиной в точке (0;0), ветви которой направлены:

• вверх при $$x\ge0$$
• вниз при $$x<0$$

При $$x=4$$ функция не определена, поэтому на графике в этой точке нужно сделать "выколотую" точку. Значение функции в этой точке равно: $$ y(4) = \frac{1}{2} \cdot 4^2 = 8 $$

Прямая $$y=m$$ не имеет общих точек с графиком функции, когда $$m < 0$$ и когда $$m=8$$.

Ответ: $$m < 0$$ или $$m = 8$$