Постройте график функции 7x - 10 y = 7x210x Определите, при каких значениях к прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Построим график функции $$y = \frac{7x - 10}{7x^2 - 10x}$$.

Сначала упростим выражение для функции:

$$y = \frac{7x - 10}{x(7x - 10)}$$

При $$7x - 10
eq 0$$, т.е. при $$x
eq \frac{10}{7}$$, можно сократить дробь:

$$y = \frac{1}{x}$$, при $$x
eq \frac{10}{7}$$

Таким образом, график функции представляет собой гиперболу $$y = \frac{1}{x}$$ с выколотой точкой $$\left(\frac{10}{7}, \frac{7}{10}\right)$$.

Теперь рассмотрим прямую $$y = kx$$. Чтобы найти точки пересечения прямой и графика, нужно решить уравнение:

$$kx = \frac{1}{x}$$ $$kx^2 = 1$$ $$x^2 = \frac{1}{k}$$

Если $$k > 0$$, то есть два решения: $$x = \pm \frac{1}{\sqrt{k}}$$. Если $$k < 0$$, то решений нет.

Если $$k = 0$$, то уравнение $$0 = \frac{1}{x}$$ не имеет решений.

Чтобы прямая имела с графиком ровно одну общую точку, нужно чтобы одно из решений совпадало с выколотой точкой $$\left(\frac{10}{7}, \frac{7}{10}\right)$$.

Рассмотрим случай, когда $$x = \frac{10}{7}$$:

$$k = \frac{y}{x} = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{10}{7}} = \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{49}{100}$$

В этом случае прямая $$y = \frac{49}{100}x$$ проходит через выколотую точку графика.

Рассмотрим уравнение $$x^2 = \frac{1}{k}$$, которое имеет два решения $$x = \pm \frac{1}{\sqrt{k}}$$. Если прямая имеет одну общую точку, это означает, что $$k$$ должен быть таким, что $$x = \frac{1}{\sqrt{k}} = \frac{10}{7}$$. Тогда $$\frac{1}{k} = \frac{100}{49}$$, и $$k = \frac{49}{100}$$.

Теперь рассмотрим случай, когда прямая касается гиперболы. Из уравнения $$x^2 = \frac{1}{k}$$ следует, что прямая $$y=kx$$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком функции, если $$k>0$$.

Если $$x=\frac{10}{7}$$ является решением уравнения, то прямая $$y=kx$$ имеет одну общую точку с графиком, если $$k=\frac{49}{100}$$.

При $$k<0$$ прямая не имеет общих точек с графиком.

Ответ: $$k=\frac{49}{100}$$