22 Постройте график функции x-3 y= x²-3x Определите, при каких значениях к прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Преобразуем функцию:

• $$y = \frac{x - 3}{x^2 - 3x} = \frac{x - 3}{x(x - 3)}$$
• При $$x
  e 3$$: $$y = \frac{1}{x}$$
• Получаем функцию $$y = \frac{1}{x}$$ с выколотой точкой при $$x = 3$$.
• Если $$x = 3$$, то $$y = \frac{1}{3}$$.
• Прямая $$y = kx$$ должна иметь с графиком ровно одну общую точку. Рассмотрим два случая:

• Прямая проходит через выколотую точку $$(3; \frac{1}{3})$$. Тогда $$\frac{1}{3} = k \cdot 3$$, следовательно, $$k = \frac{1}{9}$$.
• Прямая $$y = kx$$ касается графика $$y = \frac{1}{x}$$. Решим уравнение $$kx = \frac{1}{x}$$, $$kx^2 = 1$$, $$x^2 = \frac{1}{k}$$, $$x = \pm \frac{1}{\sqrt{k}}$$. Касание возможно, когда есть только одно решение. Это значит, что $$k < 0$$.
• Подставим $$y = kx$$ в $$y = \frac{1}{x}$$: $$kx = \frac{1}{x}$$
• $$kx^2 = 1$$
• $$x^2 = \frac{1}{k}$$. Поскольку $$x^2 > 0$$, то $$k > 0$$.
• $$y = kx$$ и $$y = \frac{1}{x}$$ должны иметь только одну точку пересечения. Рассмотрим уравнение $$kx = \frac{1}{x}$$. $$kx^2 - 1 = 0$$. $$x^2 = \frac{1}{k}$$. Чтобы был один корень, нужно, чтобы $$\frac{1}{k} > 0$$ и $$x = \pm \frac{1}{\sqrt{k}}$$. То есть, $$k > 0$$. Однако, при этом всегда будет два корня.

• Рассмотрим случай, когда прямая $$y = kx$$ проходит через точку (3; 1/3). Тогда 1/3 = k * 3, k = 1/9.
• При $$k = 0$$ прямая $$y = 0$$ имеет одну точку пересечения с графиком, $$x \to \infty$$

Ответ: $$k = \frac{1}{9}$$