Постройте график функции $$y=\frac{x-3}{x^2-3x}$$. Определите, при каких значеннях k прямая у= kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Преобразуем функцию: $$y = \frac{x-3}{x(x-3)}$$

При $$x
eq 3$$ получаем $$y = \frac{1}{x}$$. График функции $$y = \frac{1}{x}$$ - гипербола с выколотой точкой (3; 1/3).

Прямая $$y = kx$$ проходит через начало координат.

Прямая имеет с графиком одну общую точку, если:

• прямая проходит через выколотую точку (3; 1/3): $$y = kx \implies \frac{1}{3} = k \cdot 3 \implies k = \frac{1}{9}$$.
• прямая является касательной к графику $$y = \frac{1}{x}$$. В этом случае $$kx = \frac{1}{x} \implies kx^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{k}$$. Уравнение имеет одно решение, если $$k < 0$$.

Ответ: $$k = \frac{1}{9}$$, $$k < 0$$