Постройте график функции y = |x(x + 1) - 6x|. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Рассмотрим функцию: \[y = |x(x + 1) - 6x| = |x^2 + x - 6x| = |x^2 - 5x|\]

Раскроем модуль:

\[ y = \begin{cases} x^2 - 5x, & \text{если } x^2 - 5x \ge 0 \\ -(x^2 - 5x), & \text{если } x^2 - 5x < 0 \end{cases} \]

Решим неравенство \(x^2 - 5x \ge 0\): \[x(x - 5) \ge 0\]

Корни: \(x = 0\) и \(x = 5\). Метод интервалов показывает, что \(x \le 0\) или \(x \ge 5\).

Тогда: \[ y = \begin{cases} x^2 - 5x, & \text{если } x \le 0 \text{ или } x \ge 5 \\ -x^2 + 5x, & \text{если } 0 < x < 5 \end{cases} \]

Для \(y = x^2 - 5x\): вершина параболы в точке \(x_v = \frac{-(-5)}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\). Значение \(y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25\).

Для \(y = -x^2 + 5x\): вершина параболы в точке \(x_v = \frac{-5}{2(-1)} = \frac{5}{2} = 2.5\). Значение \(y_v = -(2.5)^2 + 5(2.5) = -6.25 + 12.5 = 6.25\).

График функции состоит из двух парабол. Первая парабола \(y = x^2 - 5x\) определена при \(x \le 0\) и \(x \ge 5\), а вторая парабола \(y = -x^2 + 5x\) определена при \(0 < x < 5\).

Прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки, если она проходит через вершину параболы \(y = -x^2 + 5x\) или через ось x (y = 0).

Таким образом, \(m = 6.25\) или \(m = 0\).

Ответ: m = 0; m = 6.25

Проверка за 10 секунд: Анализ графика функции показывает, что прямая y = m имеет две общие точки при m = 0 и m = 6.25.

Доп. профит: Редфлаг: Не забудь раскрыть модуль и рассмотреть оба случая!