Постройте график функции y = (x² + 4x + 4 при x≥-4, -16/x при x< -4. Определите, при каких значениях т прямая ут имеет с графиком одну или две общие точки.

Для решения этой задачи, сначала рассмотрим каждую часть функции отдельно и построим ее график.

1. \( y = x^2 + 4x + 4 \) при \( x \ge -4 \). Это парабола.

Выделим полный квадрат:

\( y = (x + 2)^2 \).

Вершина параболы находится в точке \( (-2, 0) \).

Так как \( x \ge -4 \), нас интересует часть параболы справа от \( x = -4 \).

При \( x = -4 \), \( y = (-4 + 2)^2 = (-2)^2 = 4 \).

2. \( y = -\frac{16}{x} \) при \( x < -4 \). Это гипербола.

Так как \( x < -4 \), рассмотрим часть гиперболы слева от \( x = -4 \).

При \( x = -4 \), \( y = -\frac{16}{-4} = 4 \).

Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком одну или две общие точки.

Прямая \( y = m \) - это горизонтальная прямая.

- Если \( m > 0 \), прямая \( y = m \) пересекает параболу в двух точках (так как парабола \( y = (x + 2)^2 \) при \( x \ge -4 \) возрастает).

- Если \( m = 0 \), прямая \( y = 0 \) касается параболы в точке \( (-2, 0) \), т.е. имеет одну общую точку.

- Если \( 0 < m < 4 \), прямая \( y = m \) не пересекает гиперболу, но пересекает параболу в двух точках.

- Если \( m = 4 \), прямая \( y = 4 \) имеет одну общую точку с параболой (в точке \( (-4, 4) \)) и одну общую точку с гиперболой (в точке \( (-4, 4) \)), т.е. одну общую точку.

Таким образом:

- При \( m = 0 \) и \( m = 4 \) прямая \( y = m \) имеет с графиком одну общую точку.

- При \( m > 0 \) и \( m
e 4 \) прямая \( y = m \) имеет с графиком две общие точки.

Прекрасно! Ты отлично справился с анализом функции и определил условия пересечения!