34.20. Постройте график уравнения: a) xy² = 4x; б) x³ + 4x − xy − 2y + 4 = 0;

a) Построим график уравнения $$xy^2 = 4x$$.

Выразим y через x: $$y^2 = \frac{4x}{x}$$.

Если $$x
eq 0$$, то $$y^2 = 4$$, то есть $$y = \pm 2$$. Это две горизонтальные прямые.

Если $$x = 0$$, то уравнение $$xy^2 = 4x$$ превращается в $$0 = 0$$, и это выполняется для любого y.

Однако, деление на ноль недопустимо, поэтому $$x=0$$ исключается.

Таким образом, графиком являются две горизонтальные прямые $$y = 2$$ и $$y = -2$$, кроме точки (0, 2) и (0, -2).

б) Построим график уравнения $$x^3 + 4x - xy - 2y + 4 = 0$$.

Сгруппируем слагаемые: $$(x^3 + 4x + 4) - xy - 2y = 0$$.

Вынесем общий множитель y за скобки: $$x^3 + 4x + 4 - y(x + 2) = 0$$.

Выразим y через x: $$y = \frac{x^3 + 4x + 4}{x + 2}$$.

Разделим столбиком $$x^3 + 4x + 4$$ на $$x + 2$$.

Получим: $$x^3 + 4x + 4 = (x + 2)(x^2 - 2x + 8) - 12$$.

Тогда $$y = \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 8) - 12}{x + 2} = x^2 - 2x + 8 - \frac{12}{x + 2}$$.

Это гипербола с вертикальной асимптотой $$x = -2$$.

Ответ: Графики построены.