Практическая работа «Испытания Бернулли» (успех, неудача) Вариант 1 Задача 1.В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?

Задача 1. Вариант 1.

В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?

Решение:

Всего шаров: 20 (белых) + 10 (черных) = 30 шаров.

Вероятность вынуть белый шар: $$P(Б) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$$.

Вероятность вынуть черный шар: $$P(Ч) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$$.

Нам нужно, чтобы из 4 шаров было 2 белых. Это задача на схему Бернулли, где вероятность успеха (вынуть белый шар) равна $$\frac{2}{3}$$, а вероятность неудачи (вынуть черный шар) равна $$\frac{1}{3}$$. Нам нужно 2 успеха в 4 испытаниях.

Формула Бернулли: $$P(k, n) = C_n^k * p^k * (1-p)^{(n-k)}$$, где:

• $$P(k, n)$$ - вероятность k успехов в n испытаниях
• $$C_n^k$$ - количество сочетаний из n по k
• $$p$$ - вероятность успеха в одном испытании
• $$n$$ - количество испытаний
• $$k$$ - количество успехов

В нашем случае: $$n = 4$$, $$k = 2$$, $$p = \frac{2}{3}$$.

Считаем количество сочетаний: $$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$$.

Теперь подставляем в формулу Бернулли: $$P(2, 4) = 6 * (\frac{2}{3})^2 * (\frac{1}{3})^{(4-2)} = 6 * (\frac{4}{9}) * (\frac{1}{9}) = 6 * \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$$.

$$\frac{8}{27} \approx 0.296$$

Ответ: Вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых, равна $$\frac{8}{27}$$.