Задача 3. Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трех раз?

Задача 3.

Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трех раз?

Решение:

Нам нужно найти вероятность, что событие А появится 0, 1, 2 или 3 раза. То есть, нужно посчитать сумму вероятностей для каждого из этих случаев, используя формулу Бернулли.

Формула Бернулли: $$P(k, n) = C_n^k * p^k * (1-p)^{(n-k)}$$, где:

• $$P(k, n)$$ - вероятность k успехов в n испытаниях
• $$C_n^k$$ - количество сочетаний из n по k
• $$p$$ - вероятность успеха в одном испытании
• $$n$$ - количество испытаний
• $$k$$ - количество успехов

В нашем случае: $$n = 10$$, $$p = 0.4$$.

Считаем для каждого случая:

1. Событие А не появится ни разу (k = 0): $$P(0, 10) = C_{10}^0 * (0.4)^0 * (0.6)^{10} = 1 * 1 * 0.0060466176 = 0.0060466176$$.

2. Событие А появится 1 раз (k = 1): $$P(1, 10) = C_{10}^1 * (0.4)^1 * (0.6)^9 = 10 * 0.4 * 0.010077696 = 0.040310784$$.

3. Событие А появится 2 раза (k = 2): $$P(2, 10) = C_{10}^2 * (0.4)^2 * (0.6)^8 = 45 * 0.16 * 0.01679616 = 0.120932352$$.

4. Событие А появится 3 раза (k = 3): $$P(3, 10) = C_{10}^3 * (0.4)^3 * (0.6)^7 = 120 * 0.064 * 0.0279936 = 0.214990848$$.

Теперь складываем вероятности: $$P(\text{не более 3}) = P(0, 10) + P(1, 10) + P(2, 10) + P(3, 10) = 0.0060466176 + 0.040310784 + 0.120932352 + 0.214990848 = 0.3822806016$$.

Ответ: Вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трех раз, равна 0.3822806016.