Задача 2. Игральную кость бросили 10 раз. Какова вероятность, что число 3 выпадет два раза?

Задача 2.

Игральную кость бросили 10 раз. Какова вероятность, что число 3 выпадет два раза?

Решение:

Вероятность выпадения числа 3 при одном броске кости: $$P(3) = \frac{1}{6}$$.

Вероятность не выпадения числа 3 при одном броске кости: $$P(\text{не 3}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$.

Бросаем кость 10 раз, и нам нужно, чтобы число 3 выпало ровно 2 раза. Это снова задача на схему Бернулли.

Формула Бернулли: $$P(k, n) = C_n^k * p^k * (1-p)^{(n-k)}$$, где:

• $$P(k, n)$$ - вероятность k успехов в n испытаниях
• $$C_n^k$$ - количество сочетаний из n по k
• $$p$$ - вероятность успеха в одном испытании
• $$n$$ - количество испытаний
• $$k$$ - количество успехов

В нашем случае: $$n = 10$$, $$k = 2$$, $$p = \frac{1}{6}$$.

Считаем количество сочетаний: $$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$$.

Теперь подставляем в формулу Бернулли: $$P(2, 10) = 45 * (\frac{1}{6})^2 * (\frac{5}{6})^{(10-2)} = 45 * (\frac{1}{36}) * (\frac{5}{6})^8$$.

$$P(2, 10) = 45 * \frac{1}{36} * \frac{390625}{1679616} = \frac{45 * 390625}{36 * 1679616} = \frac{17578125}{60466176} \approx 0.2907$$.

Ответ: Вероятность того, что число 3 выпадет два раза, равна $$\frac{17578125}{60466176}$$.