Задача 5. Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет единица или двойка. Найдите вероятность того, что это случится при втором, третьем или четвёртом броске.

Задача 5.

Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет единица или двойка. Найдите вероятность того, что это случится при втором, третьем или четвёртом броске.

Решение:

Вероятность, что выпадет 1 или 2: $$P(1 \text{ или } 2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$.

Вероятность, что не выпадет 1 или 2: $$P(\text{не 1 и не 2}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$.

Нам нужно, чтобы 1 или 2 выпало на втором, третьем или четвертом броске.

Случай 1: Выпало на втором броске: (не 1 и не 2), (1 или 2). $$P_2 = \frac{2}{3} * \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$$.

Случай 2: Выпало на третьем броске: (не 1 и не 2), (не 1 и не 2), (1 или 2). $$P_3 = \frac{2}{3} * \frac{2}{3} * \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$$.

Случай 3: Выпало на четвертом броске: (не 1 и не 2), (не 1 и не 2), (не 1 и не 2), (1 или 2). $$P_4 = \frac{2}{3} * \frac{2}{3} * \frac{2}{3} * \frac{1}{3} = \frac{8}{81}$$.

Итоговая вероятность: $$P = P_2 + P_3 + P_4 = \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} = \frac{18}{81} + \frac{12}{81} + \frac{8}{81} = \frac{38}{81}$$.

Ответ: Вероятность того, что 1 или 2 выпадет при втором, третьем или четвёртом броске, равна $$\frac{38}{81}$$.