Практическая работа «Испытания Бернулли» Цель: формирование умений решать задачи на нахождение вероятности с использованием формулы Бернулли. Повторим теоретический материал Если производится и независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна р, то вероятность того, что событие А появится в этих и испытаниях т раз, выражается формулой Бернулли P(m)=Ckpm.qn-т, где q = 1-р. Рассмотрим образцы решения задач Задача 1. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что 11з четырех вынутых шаров окажется два белых? Решение. Вероятность извлечения белого шара р-20/30-2/3 можно считать одной и той же во всех испытаниях; q-1-р-1/3. Используя формулу Бернулли, получаем P4(2)=C2p2q2-6 (2/3)2 (1/3)2 = 8/27 Ответ: 8/27 Задача 2. Игральную кость бросили 10 раз. Какова вероятность, что число 3 выпадет два раза? Решение. При одном броске вероятность выпадения тройки равна р = 1/6, а вероятность не выпадения равна 1-р = 5/6. Каждый бросок - независимое испытание. Применим ф-лу Бернулли. P(m)=Compm(1-р)п-т, где n=10, m=2 P= C102-(1/6)2 (5/6)8 = 10!/ (8!*21)* 58/610 = 45*58/610 0,29. Ответ: 0,29 Задача 3. Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трех раз? Решение. Здесь р=0,4, q=0,6. Имеем: P10(0)=q10, P10(1)=10pq9, P10(2)=45p2q8, P10(3) = 120p³q7. Вероятность того, что событие А появится не больше трех раз, равна P=P10(0) + P10(1)+P10(2)+P10(3)=q10+10pq9+45p2q8+120p3q7 0.38 Ответ: 0,38

Математика, 10 класс.

В данном задании представлены примеры решения задач на использование формулы Бернулли. Разберем каждую задачу по порядку.

Задача 1

Условие: В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?

Решение:

1. Вероятность извлечения белого шара равна:

\[p = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}\]

2. Вероятность извлечения черного шара равна:

\[q = 1 - p = \frac{1}{3}\]

3. Используем формулу Бернулли:

\[P_4(2) = C_4^2 p^2 q^2\]

4. Подставляем значения:

\[P_4(2) = C_4^2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2 = 6 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27} \approx 0.296\]

Ответ: 8/27

Задача 2

Условие: Игральную кость бросили 10 раз. Какова вероятность, что число 3 выпадет два раза?

Решение:

1. Вероятность выпадения тройки при одном броске равна:

\[p = \frac{1}{6}\]

2. Вероятность не выпадения тройки при одном броске равна:

\[q = 1 - p = \frac{5}{6}\]

3. Используем формулу Бернулли:

\[P_{10}(2) = C_{10}^2 p^2 q^8\]

4. Подставляем значения:

\[P_{10}(2) = C_{10}^2 (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^8 = 45 \cdot (\frac{1}{36}) \cdot (\frac{5^8}{6^8}) = 45 \cdot \frac{5^8}{6^{10}} \approx 0.2907\]

Ответ: 0,29

Задача 3

Условие: Вероятность появления события A равна 0.4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие A появится не более трех раз?

Решение:

1. Вероятность появления события A равна:

\[p = 0.4\]

2. Вероятность не появления события A равна:

\[q = 0.6\]

3. Вероятность того, что событие A не появится ни разу:

\[P_{10}(0) = q^{10} = 0.6^{10} \approx 0.00605\]

4. Вероятность того, что событие A появится один раз:

\[P_{10}(1) = 10pq^9 = 10 \cdot 0.4 \cdot 0.6^9 \approx 0.0403\]

5. Вероятность того, что событие A появится два раза:

\[P_{10}(2) = 45p^2q^8 = 45 \cdot 0.4^2 \cdot 0.6^8 \approx 0.1209\]

6. Вероятность того, что событие A появится три раза:

\[P_{10}(3) = 120p^3q^7 = 120 \cdot 0.4^3 \cdot 0.6^7 \approx 0.2150\]

7. Вероятность того, что событие A появится не более трех раз, равна:

\[P = P_{10}(0) + P_{10}(1) + P_{10}(2) + P_{10}(3) \approx 0.00605 + 0.0403 + 0.1209 + 0.2150 = 0.38225\]

Ответ: 0,38