Вариант 3 1. Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четы рех испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,6. 2. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,85. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не более трех? 4. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испы- таниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3.

Математика, 10 класс.

Рассмотрим задачи из Варианта 3.

Задача 1

Условие: Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,6.

Решение:

Не менее трех раз означает 3 или 4 раза.

1. Вероятность появления события A в одном испытании равна:

\[p = 0.6\]

2. Вероятность не появления события A в одном испытании равна:

\[q = 1 - p = 0.4\]

3. Найдем вероятность для каждого случая, используя формулу Бернулли:

\[P_4(3) = C_4^3 p^3 q^1 = 4 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^1 = 4 \cdot 0.216 \cdot 0.4 = 0.3456\]

\[P_4(4) = C_4^4 p^4 q^0 = 1 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^0 = 1 \cdot 0.1296 \cdot 1 = 0.1296\]

4. Суммируем вероятности:

\[P = P_4(3) + P_4(4) = 0.3456 + 0.1296 = 0.4752\]

Ответ: 0.4752

Задача 2

Условие: Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,85. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не более трех?

Решение:

Не более трех означает 0, 1, 2 или 3.

1. Вероятность всхожести семян равна:

\[p = 0.85\]

2. Вероятность, что семя не взойдет, равна:

\[q = 1 - p = 0.15\]

3. Найдем вероятность для каждого случая, используя формулу Бернулли:

\[P_4(0) = C_4^0 p^0 q^4 = 1 \cdot (0.85)^0 \cdot (0.15)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.00050625 = 0.00050625\]

\[P_4(1) = C_4^1 p^1 q^3 = 4 \cdot (0.85)^1 \cdot (0.15)^3 = 4 \cdot 0.85 \cdot 0.003375 = 0.011475\]

\[P_4(2) = C_4^2 p^2 q^2 = 6 \cdot (0.85)^2 \cdot (0.15)^2 = 6 \cdot 0.7225 \cdot 0.0225 = 0.0975375\]

\[P_4(3) = C_4^3 p^3 q^1 = 4 \cdot (0.85)^3 \cdot (0.15)^1 = 4 \cdot 0.614125 \cdot 0.15 = 0.368475\]

4. Суммируем вероятности:

\[P = P_4(0) + P_4(1) + P_4(2) + P_4(3) = 0.00050625 + 0.011475 + 0.0975375 + 0.368475 = 0.47799375\]

Ответ: 0.47799375

Задача 3

Условие: Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3.

Решение:

Не менее двух раз означает 2, 3, 4 или 5 раз. Выгоднее посчитать вероятность противоположного события: 0 или 1 раз, а затем вычесть из 1.

1. Вероятность появления события A в одном испытании равна:

\[p = 0.3\]

2. Вероятность не появления события A в одном испытании равна:

\[q = 1 - p = 0.7\]

3. Найдем вероятность для каждого случая, используя формулу Бернулли:

\[P_5(0) = C_5^0 p^0 q^5 = 1 \cdot (0.3)^0 \cdot (0.7)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.16807 = 0.16807\]

\[P_5(1) = C_5^1 p^1 q^4 = 5 \cdot (0.3)^1 \cdot (0.7)^4 = 5 \cdot 0.3 \cdot 0.2401 = 0.36015\]

4. Суммируем вероятности:

\[P(0 \cup 1) = P_5(0) + P_5(1) = 0.16807 + 0.36015 = 0.52822\]

5. Искомая вероятность равна:

\[P = 1 - P(0 \cup 1) = 1 - 0.52822 = 0.47178\]

Ответ: 0.47178