Вариант 4 В партии 10 деталей Вероятность отклонения наминала равна 0,4. Найти вероятность того, что в данной партии есть 5 деталей с отклонением от наминала. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадает хотя бы два раза. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика равна 0,7.

Математика, 10 класс.

Рассмотрим задачи из Варианта 4.

Задача 1

Условие: В партии 10 деталей. Вероятность отклонения наминала равна 0,4. Найти вероятность того, что в данной партии есть 5 деталей с отклонением от наминала.

Решение:

1. Вероятность отклонения от наминала равна:

\[p = 0.4\]

2. Вероятность соответствия наминалу равна:

\[q = 1 - p = 0.6\]

3. Используем формулу Бернулли:

\[P_{10}(5) = C_{10}^5 p^5 q^5\]

4. Подставляем значения:

\[P_{10}(5) = C_{10}^5 (0.4)^5 (0.6)^5 = 252 \cdot (0.4)^5 \cdot (0.6)^5 = 252 \cdot 0.01024 \cdot 0.07776 \approx 0.20066\]

Ответ: ≈ 0.20066

Задача 2

Условие: Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадает хотя бы два раза.

Решение:

«Хотя бы два раза» означает 2, 3, 4, 5 или 6 раз. Выгоднее посчитать вероятность противоположного события: 0 или 1 раз, а затем вычесть из 1.

1. Вероятность выпадения герба при одном броске равна:

\[p = \frac{1}{2}\]

2. Вероятность не выпадения герба при одном броске равна:

\[q = 1 - p = \frac{1}{2}\]

3. Найдем вероятность для каждого случая, используя формулу Бернулли:

\[P_6(0) = C_6^0 p^0 q^6 = 1 \cdot (\frac{1}{2})^0 \cdot (\frac{1}{2})^6 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{64}\]

\[P_6(1) = C_6^1 p^1 q^5 = 6 \cdot (\frac{1}{2})^1 \cdot (\frac{1}{2})^5 = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{32} = \frac{6}{64}\]

4. Суммируем вероятности:

\[P(0 \cup 1) = P_6(0) + P_6(1) = \frac{1}{64} + \frac{6}{64} = \frac{7}{64}\]

5. Искомая вероятность равна:

\[P = 1 - P(0 \cup 1) = 1 - \frac{7}{64} = \frac{57}{64} \approx 0.8906\]

Ответ: \(\frac{57}{64}\) или ≈ 0.8906

Задача 3

Условие: В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика равна 0,7.

Решение:

«Более трех мальчиков» означает 4 или 5 мальчиков.

1. Вероятность рождения мальчика равна:

\[p = 0.7\]

2. Вероятность рождения девочки равна:

\[q = 1 - p = 0.3\]

3. Найдем вероятность для каждого случая, используя формулу Бернулли:

\[P_5(4) = C_5^4 p^4 q^1 = 5 \cdot (0.7)^4 \cdot (0.3)^1 = 5 \cdot 0.2401 \cdot 0.3 = 0.36015\]

\[P_5(5) = C_5^5 p^5 q^0 = 1 \cdot (0.7)^5 \cdot (0.3)^0 = 1 \cdot 0.16807 \cdot 1 = 0.16807\]

4. Суммируем вероятности:

\[P = P_5(4) + P_5(5) = 0.36015 + 0.16807 = 0.52822\]

Ответ: 0.52822