пределите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно де щие точки.

Ответ: m ∈ (1; 4]

1. Рассмотрим функцию

   \[ y = \begin{cases} -x^2 + 2x + 3, & x \ge -1 \\ -x + 1, & x < -1 \end{cases} \]

2. На участке \(x \ge -1\) функция представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке \((1, 4)\), а значение в точке \(x = -1\) равно \(-(-1)^2 + 2(-1) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0\). Таким образом, при \(x = -1\) имеем \(y = 0\).

3. На участке \(x < -1\) функция представляет собой прямую линию \(y = -x + 1\). В точке \(x = -1\) значение функции равно \(y = -(-1) + 1 = 2\).

4. Прямая \(y = m\) будет иметь с графиком ровно две общие точки, если она пересекает параболу в двух точках или касается ее в вершине, а также если она проходит через точку разрыва функции при \(x = -1\).

5. Прямая \(y = m\) пересекает параболу в двух точках, если \(m\) находится между значением функции в точке \(x = -1\) и вершиной параболы, то есть \(0 < m < 4\).

6. Прямая \(y = m\) касается параболы в вершине, если \(m = 4\). В этом случае у нас одна точка касания на параболе и одна точка на прямой \(y = -x + 1\) при \(x < -1\).

7. Прямая \(y = m\) проходит через точку разрыва функции при \(x = -1\), если \(m = 2\). В этом случае у нас одна точка на параболе при \(x = -1\) и одна точка на прямой \(y = -x + 1\) при \(x < -1\).

8. Объединяя полученные интервалы, получаем, что прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки, если \(m \in (1; 4]\).

9. Графически это выглядит так: если m находится между 1 (не включая) и 4 (включая), то прямая y = m будет пересекать график функции ровно в двух точках.

Ответ: m ∈ (1; 4]