При каких значениях a разность дробей $$\frac{18a+3}{4a^2-9}$$ и $$\frac{3-3a}{3+2a}$$ равна дроби $$\frac{5}{2a-3}$$?

Найдем значения a, при которых разность дробей $$\frac{18a+3}{4a^2-9}$$ и $$\frac{3-3a}{3+2a}$$ равна дроби $$\frac{5}{2a-3}$$.

Составим уравнение: $$\frac{18a+3}{4a^2-9} - \frac{3-3a}{3+2a} = \frac{5}{2a-3}$$

Разложим знаменатель первой дроби на множители: $$\frac{18a+3}{(2a-3)(2a+3)} - \frac{3-3a}{3+2a} = \frac{5}{2a-3}$$

Приведем к общему знаменателю: $$\frac{18a+3 - (3-3a)(2a-3)}{(2a-3)(2a+3)} = \frac{5}{2a-3}$$

Умножим обе части уравнения на (2a-3): $$\frac{18a+3 - (3-3a)(2a-3)}{2a+3} = 5$$

ОДЗ: $$2a-3
eq 0$$, $$2a+3
eq 0$$, следовательно, $$a
eq \pm \frac{3}{2}$$

Раскроем скобки: $$18a + 3 - (6a - 9 - 6a^2 + 9a) = 5(2a + 3)$$

$$18a + 3 - 6a + 9 + 6a^2 - 9a = 10a + 15$$

$$6a^2 + 3a + 12 = 10a + 15$$

$$6a^2 - 7a - 3 = 0$$

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121$$

$$a_1 = \frac{7 + \sqrt{121}}{12} = \frac{7 + 11}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$$

$$a_2 = \frac{7 - \sqrt{121}}{12} = \frac{7 - 11}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$$

Так как по ОДЗ $$a
eq \pm \frac{3}{2}$$, то решением является только $$a = -\frac{1}{3}$$.

Ответ: $$a = -\frac{1}{3}$$