При каких значениях х имеет смысл выражение: a) √(4 − x)(3x + 4,5); б) \frac{1}{\sqrt{x^2 - 6x + 9}} ?

a) Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$$(4 - x)(3x + 4,5) ≥ 0$$

$$(x - 4)(3x + 4,5) ≤ 0$$

Нули: $$x_1 = 4, x_2 = -\frac{4,5}{3} = -1,5$$

Интервалы: $$(-\infty; -1,5), (-1,5; 4), (4; +\infty)$$

На интервале $$(-\infty; -1,5)$$ возьмем $$x = -2$$. Тогда $$(-2 - 4)(3(-2) + 4,5) = (-6)(-6 + 4,5) = (-6)(-1,5) = 9 > 0$$

На интервале $$(-1,5; 4)$$ возьмем $$x = 0$$. Тогда $$(0 - 4)(3(0) + 4,5) = (-4)(4,5) = -18 < 0$$

На интервале $$(4; +\infty)$$ возьмем $$x = 5$$. Тогда $$(5 - 4)(3(5) + 4,5) = (1)(15 + 4,5) = 19,5 > 0$$

Неравенство меньше или равно нуля на интервале $$[-1,5; 4]$$

б) Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение в знаменателе положительно:

$$x^2 - 6x + 9 > 0$$

$$(x - 3)^2 > 0$$

$$x ≠ 3$$

Ответ: a) $$x \in [-1,5; 4]$$; б) $$x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$$