Решите неравенство методом интервалов: a) (x + 2)(x − 6) < 0; б) \frac{x-3}{x + 2,5} > 0.

Решим каждое неравенство методом интервалов:

a) $$(x + 2)(x - 6) < 0$$

Нули функции: $$x_1 = -2, x_2 = 6$$

Интервалы: $$(-\infty; -2), (-2; 6), (6; +\infty)$$

На интервале $$(-\infty; -2)$$ возьмем $$x = -3$$. Тогда $$(-3 + 2)(-3 - 6) = (-1)(-9) = 9 > 0$$

На интервале $$(-2; 6)$$ возьмем $$x = 0$$. Тогда $$(0 + 2)(0 - 6) = 2(-6) = -12 < 0$$

На интервале $$(6; +\infty)$$ возьмем $$x = 7$$. Тогда $$(7 + 2)(7 - 6) = 9(1) = 9 > 0$$

Неравенство меньше нуля на интервале $$(-2; 6)$$

б) $$\frac{x-3}{x + 2,5} > 0$$

Нули числителя: $$x = 3$$

Нули знаменателя: $$x = -2,5$$

Интервалы: $$(-\infty; -2,5), (-2,5; 3), (3; +\infty)$$

На интервале $$(-\infty; -2,5)$$ возьмем $$x = -3$$. Тогда $$\frac{-3 - 3}{-3 + 2,5} = \frac{-6}{-0,5} = 12 > 0$$

На интервале $$(-2,5; 3)$$ возьмем $$x = 0$$. Тогда $$\frac{0 - 3}{0 + 2,5} = \frac{-3}{2,5} = -1,2 < 0$$

На интервале $$(3; +\infty)$$ возьмем $$x = 4$$. Тогда $$\frac{4 - 3}{4 + 2,5} = \frac{1}{6,5} > 0$$

Неравенство больше нуля на интервалах $$(-\infty; -2,5)$$ и $$(3; +\infty)$$

Ответ: a) $$x \in (-2; 6)$$; б) $$x \in (-\infty; -2,5) \cup (3; +\infty)$$