При каких значениях m система неравенств имеет ровно три целых решения: {5-x < 2, x+6 < m+1}?

Решение:

1. Решим первое неравенство:
   • \[ 5 - x < 2 \]
   • \[ -x < 2 - 5 \]
   • \[ -x < -3 \]
   • \[ x > 3 \]
2. Решим второе неравенство:
   • \[ x + 6 < m + 1 \]
   • \[ x < m + 1 - 6 \]
   • \[ x < m - 5 \]
3. Объединим решения: У нас есть система:
   • \[ 3 < x < m - 5 \]
4. Условие: Система должна иметь ровно три целых решения. Это значит, что в интервале (3; m-5) должно быть ровно три целых числа.
5. Подберем m:
   • Наименьшее целое число, большее 3, это 4.
   • Следующие целые числа: 5, 6.
   • Значит, интервал должен включать 4, 5, 6, но не включать 7.
   • Это означает, что верхняя граница интервала, m - 5, должна быть больше 6, но меньше или равна 7.
     • \[ 6 < m - 5 \le 7 \]
   • Решим это двойное неравенство:
     • \[ 6 + 5 < m \le 7 + 5 \]
     • \[ 11 < m \le 12 \]

Ответ: 11 < m ≤ 12