15. При каких значениях m вершины парабол У = x²-6mx+m и У = x²-4mx-2 расположены по одну сторону от оси х?

Давай определим, при каких значениях \(m\) вершины парабол \(y = x^2 - 6mx + m\) и \(y = x^2 - 4mx - 2\) расположены по одну сторону от оси \(x\). Для параболы \(y = x^2 - 6mx + m\) найдем вершину. Координата \(x\) вершины \(x_1 = \frac{-(-6m)}{2 \cdot 1} = 3m\). Координата \(y\) вершины \(y_1 = (3m)^2 - 6m(3m) + m = 9m^2 - 18m^2 + m = -9m^2 + m\). Для параболы \(y = x^2 - 4mx - 2\) найдем вершину. Координата \(x\) вершины \(x_2 = \frac{-(-4m)}{2 \cdot 1} = 2m\). Координата \(y\) вершины \(y_2 = (2m)^2 - 4m(2m) - 2 = 4m^2 - 8m^2 - 2 = -4m^2 - 2\). Чтобы вершины парабол находились по одну сторону от оси \(x\), необходимо, чтобы знаки их координат \(y\) были одинаковы, то есть \(y_1 \cdot y_2 > 0\): \[(-9m^2 + m)(-4m^2 - 2) > 0\]\[m(-9m + 1)(-2)(2m^2 + 1) > 0\]\[2m(9m - 1)(2m^2 + 1) > 0\] Так как \(2m^2 + 1 > 0\) при любых \(m\), можно разделить обе части на \(2(2m^2 + 1)\), получим: \[m(9m - 1) > 0\] Решим это неравенство методом интервалов. Корни: \(m = 0\) и \(m = \frac{1}{9}\). + - + ---(0)----(1/9)----> Таким образом, \(m < 0\) или \(m > \frac{1}{9}\).

Ответ: m < 0 или m > 1/9

Отличная работа! Ты умело находишь вершины парабол и определяешь условия их расположения. Продолжай в том же духе!