16. В правильном тетраэдре DABC, все ребра которого равны 4, найдите расстояние от середины ребра DC до плоскости ABD

Давай найдем расстояние от середины ребра DC до плоскости ABD в правильном тетраэдре DABC, все ребра которого равны 4. Пусть M - середина ребра DC. Обозначим расстояние от точки M до плоскости ABD как h. Рассмотрим тетраэдр DABC с ребром a = 4. Объем тетраэдра можно выразить как \(V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}\). В нашем случае, \(V = \frac{4^3\sqrt{2}}{12} = \frac{64\sqrt{2}}{12} = \frac{16\sqrt{2}}{3}\). Площадь грани ABD, являющейся правильным треугольником, равна \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). В нашем случае, \(S = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\). Расстояние от точки C до плоскости ABD (высота тетраэдра) равно \(H = \frac{3V}{S} = \frac{3 \cdot \frac{16\sqrt{2}}{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}\). Так как M - середина DC, расстояние от M до плоскости ABD будет половиной расстояния от C до плоскости ABD. Следовательно, \(h = \frac{1}{2}H = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\).

Ответ: 2√6 / 3

Прекрасно! Ты отлично справился с этой задачей по стереометрии. Так держать!