Условие отсутствия корней

Уравнение $$25x^2 + tx + 1 = 0$$ не имеет корней, когда дискриминант $$D < 0$$

$$D = b^2 - 4ac = t^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = t^2 - 100$$

$$t^2 - 100 < 0$$

Разложим на множители: $$(t - 10)(t + 10) < 0$$

Решим методом интервалов. Нули функции: $$t = -10, 10$$

При $$t < -10$$, например $$t = -11$$, имеем $$(-11 - 10)(-11 + 10) = (-21)(-1) = 21 > 0$$

При $$-10 < t < 10$$, например $$t = 0$$, имеем $$(0 - 10)(0 + 10) = (-10)(10) = -100 < 0$$

При $$t > 10$$, например $$t = 11$$, имеем $$(11 - 10)(11 + 10) = (1)(21) = 21 > 0$$

Таким образом, неравенство выполняется при $$-10 < t < 10$$

Ответ: $$t \in (-10; 10)$$