Решение неравенств методом интервалов

a) $$(x + 12)(x - 7) < 0$$

Найдем нули функции: $$x + 12 = 0$$ или $$x - 7 = 0$$

$$x = -12$$ или $$x = 7$$

Решим методом интервалов. Отметим точки -12 и 7 на числовой прямой.

При $$x < -12$$, например $$x = -13$$, имеем $$(-13 + 12)(-13 - 7) = (-1)(-20) = 20 > 0$$

При $$-12 < x < 7$$, например $$x = 0$$, имеем $$(0 + 12)(0 - 7) = (12)(-7) = -84 < 0$$

При $$x > 7$$, например $$x = 8$$, имеем $$(8 + 12)(8 - 7) = (20)(1) = 20 > 0$$

Таким образом, неравенство выполняется при $$-12 < x < 7$$

Ответ: $$x \in (-12; 7)$$

б) $$\frac{x+5}{x-10} > 0$$

Найдем нули числителя: $$x + 5 = 0$$, значит $$x = -5$$

Найдем нули знаменателя: $$x - 10 = 0$$, значит $$x = 10$$

Решим методом интервалов. Отметим точки -5 и 10 на числовой прямой.

При $$x < -5$$, например $$x = -6$$, имеем $$\frac{-6+5}{-6-10} = \frac{-1}{-16} = \frac{1}{16} > 0$$

При $$-5 < x < 10$$, например $$x = 0$$, имеем $$\frac{0+5}{0-10} = \frac{5}{-10} = -0.5 < 0$$

При $$x > 10$$, например $$x = 11$$, имеем $$\frac{11+5}{11-10} = \frac{16}{1} = 16 > 0$$

Таким образом, неравенство выполняется при $$x < -5$$ или $$x > 10$$

Ответ: $$x \in (-\infty; -5) \cup (10; +\infty)$$