При каких значениях x имеет смысл выражение: a) √(2 − x)(3x + 7,5); б) \frac{1}{\sqrt{x²+18x + 81}}?

a) Выражение $$\sqrt{(2-x)(3x + 7.5)}$$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $$(2 - x)(3x + 7.5) \geq 0$$. Найдем корни уравнения $$(2 - x)(3x + 7.5) = 0$$: $$2 - x = 0 \Rightarrow x_1 = 2$$ $$3x + 7.5 = 0 \Rightarrow 3x = -7.5 \Rightarrow x_2 = -2.5$$ Отметим корни на числовой прямой и определим знаки выражения $$(2 - x)(3x + 7.5)$$ на интервалах $$(-\infty; -2.5)$$, $$(-2.5; 2)$$, $$(2; +\infty)$$. На интервале $$(-\infty; -2.5)$$ выбираем $$x = -3$$: $$(2 - (-3))(3(-3) + 7.5) = (5)(-9 + 7.5) = (5)(-1.5) = -7.5 < 0$$ На интервале $$(-2.5; 2)$$ выбираем $$x = 0$$: $$(2 - 0)(3(0) + 7.5) = (2)(7.5) = 15 > 0$$ На интервале $$(2; +\infty)$$ выбираем $$x = 3$$: $$(2 - 3)(3(3) + 7.5) = (-1)(9 + 7.5) = (-1)(16.5) = -16.5 < 0$$ Так как нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю, выбираем интервал, где оно положительно или равно нулю. Решением является отрезок $$x \in [-2.5; 2]$$. б) Выражение $$\frac{1}{\sqrt{x^2 + 18x + 81}}$$ имеет смысл, когда подкоренное выражение положительно, то есть $$x^2 + 18x + 81 > 0$$. $$x^2 + 18x + 81 = (x + 9)^2$$ $$(x + 9)^2 > 0$$ Квадрат числа всегда неотрицателен. Чтобы он был строго больше нуля, необходимо, чтобы основание не было равно нулю. $$x + 9
eq 0 \Rightarrow x
eq -9$$ Решением является вся числовая прямая, кроме точки $$x = -9$$, то есть $$x \in (-\infty; -9) \cup (-9; +\infty)$$. Ответ: a) $$x \in [-2.5; 2]$$; б) $$x \in (-\infty; -9) \cup (-9; +\infty)$$.