При каком значении х значения выражений 3х-2, х + 2 и х + 8 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Запишем условие для геометрической прогрессии: \(\frac{x + 2}{3x - 2} = \frac{x + 8}{x + 2}\).
2. Решим уравнение: \((x + 2)^2 = (3x - 2)(x + 8)\), \(x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 24x - 2x - 16\), \(x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 22x - 16\), \(2x^2 + 18x - 20 = 0\), \(x^2 + 9x - 10 = 0\).
3. Найдем корни уравнения: \(x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 40}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-9 \pm 11}{2}\). Значит, \(x_1 = \frac{-9 + 11}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{-9 - 11}{2} = -10\).
4. Если \(x = 1\), то члены прогрессии: \(3(1) - 2 = 1\), \(1 + 2 = 3\), \(1 + 8 = 9\). Проверим: \(\frac{3}{1} = 3\) и \(\frac{9}{3} = 3\). Значит, это геометрическая прогрессия со знаменателем 3.
5. Если \(x = -10\), то члены прогрессии: \(3(-10) - 2 = -32\), \(-10 + 2 = -8\), \(-10 + 8 = -2\). Проверим: \(\frac{-8}{-32} = \frac{1}{4}\) и \(\frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}\). Значит, это геометрическая прогрессия со знаменателем \(\frac{1}{4}\).

Ответ: при x = 1 члены прогрессии 1, 3, 9; при x = -10 члены прогрессии -32, -8, -2