При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Пусть З - заболевание есть, НЗ - заболевания нет.

Пусть П - тест положительный, ОТ - тест отрицательный.

P(П|З) = 0,86 (чувствительность теста).

P(ОТ|НЗ) = 0,94 (специфичность теста).

Следовательно, P(П|НЗ) = 1 - P(ОТ|НЗ) = 1 - 0,94 = 0,06 (вероятность ложноположительного результата).

Известно, что P(П) = 0,1 (общая вероятность положительного теста).

Используем формулу Байеса для нахождения P(З|П):

P(З|П) = [P(П|З) * P(З)] / P(П).

Нам нужно найти P(З). Мы знаем, что P(П) = P(П|З)P(З) + P(П|НЗ)P(НЗ).

0,1 = 0,86 * P(З) + 0,06 * (1 - P(З)).

0,1 = 0,86 * P(З) + 0,06 - 0,06 * P(З).

0,1 - 0,06 = (0,86 - 0,06) * P(З).

0,04 = 0,8 * P(З).

P(З) = 0,04 / 0,8 = 0,05.

Теперь подставляем в формулу Байеса:

P(З|П) = (0,86 * 0,05) / 0,1 = 0,043 / 0,1 = 0,43.