Пример 1. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Разложите вектор D₁B₁ по DC и CB.

Обозначим векторы рёбер, исходящих из точки A: \(\overrightarrow{AB}=\mathbf u\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf v\), \(\overrightarrow{AA_1}=\mathbf w\).

В параллелепипеде соответствующие рёбра равны и параллельны: \(\overrightarrow{DC}=\mathbf u\), а \(\overrightarrow{CB}=-\mathbf v\).

Кроме того, \(\overrightarrow{D_1B_1}=(\mathbf u+\mathbf w)-(\mathbf v+\mathbf w)=\mathbf u-\mathbf v\). Следовательно, \(\overrightarrow{D_1B_1}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}\).

Ответ: \(\overrightarrow{D_1B_1}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}\).