Пример 3. Определить, компланарны ли векторы a = (1, 0, −1), b = (2, 1, 3), c = (0, 2, 1).

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Вычислим определитель:

\[\begin{vmatrix}1&0&-1\\2&1&3\\0&2&1\end{vmatrix}=1(1\cdot1-3\cdot2)+(-1)(2\cdot2-1\cdot0)=-5-4=-9.\]

Определитель не равен нулю, значит, векторы линейно независимы и не лежат в одной плоскости.

Ответ: векторы не компланарны.