Пример 5. Доказать, что векторы с координатами (1, 13, 2), (3, −5, 2) и (5, −1, 4) компланарны.

Обозначим данные векторы \(\mathbf a=(1,13,2)\), \(\mathbf b=(3,-5,2)\), \(\mathbf c=(5,-1,4)\). Проверим, выражается ли один из них через два других.

\[\frac12\mathbf a+\frac32\mathbf b=\left(\frac12+\frac92,\frac{13}{2}-\frac{15}{2},1+3\right)=(5,-1,4)=\mathbf c.\]

Значит, \(\mathbf c\) является линейной комбинацией \(\mathbf a\) и \(\mathbf b\). Поэтому все три вектора лежат в одной плоскости.

Следовательно, векторы компланарны.