Пример 3.3. Упростить выражение: $\log_{\frac1{25}}\frac{\sqrt7+\sqrt2}{(9+2\sqrt{14})(\sqrt7-\sqrt2)}$

Question

Вопрос: $Фото задания: Пример 3.3. Упростить выражение: $\log_{\frac1{25}}\frac{\sqrt7+\sqrt2}{(9+2\sqrt{14})(\sqrt7-\sqrt2)}$$ Фото задания

Пример 3.3. Упростить выражение: $\log_{\frac1{25}}\frac{\sqrt7+\sqrt2}{(9+2\sqrt{14})(\sqrt7-\sqrt2)}$

Accepted Answer

В числителе дроби $\sqrt7+\sqrt2$, а в знаменателе $(9+2\sqrt{14})(\sqrt7-\sqrt2)$. Заметим, что $(\sqrt7+\sqrt2)(\sqrt7-\sqrt2)=7-2=5$, а $9+2\sqrt{14}=(\sqrt7+\sqrt2)^2$.

Поэтому знаменатель равен $(\sqrt7+\sqrt2)^2(\sqrt7-\sqrt2)=5(\sqrt7+\sqrt2)$, и дробь равна $\frac15$.

Так как $\frac1{25}=5^{-2}$, имеем $\log_{1/25}(1/5)=\frac12$, поскольку $(5^{-2})^{1/2}=5^{-1}$.

Ответ: $\frac12$.

Пример 3.3. Упростить выражение: \(\log_{\frac1{25}}\frac{\sqrt7+\sqrt2}{(9+2\sqrt{14})(\sqrt7-\sqrt2)}\)

Ответ: