Проверить рукописное преобразование: \(\frac{a^3+b^3}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\ge 0\).

Разложим разность кубов и приведём выражение к общему знаменателю:

\(\frac{a^3+b^3}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^3=\frac{4(a^3+b^3)-(a+b)^3}{8}\).

Используем тождество \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\):

\(\frac{4(a^3+b^3)-(a+b)^3}{8}=\frac{(a+b)\bigl(4(a^2-ab+b^2)-(a+b)^2\bigr)}{8}=\frac{3(a+b)(a-b)^2}{8}\).

Так как \((a-b)^2\ge 0\), выражение неотрицательно при условии \(a+b\ge 0\). Без этого условия неравенство в общем случае неверно; например, при \(a=b=-1\) левая часть равна \(-1\).

Ответ: неравенство верно при \(a+b\ge 0\); в частности, если \(a,b\ge 0\). Без ограничения на \(a,b\) утверждение неверно.