пр...щаи

Применяем ПРОТОКОЛ А (Орфография).

1. Определяем орфограмму: Правописание безударной гласной в корне слова.
2. Кратко формулируем школьное правило: Чтобы проверить безударную гласную, нужно изменить форму слова или подобрать однокоренное слово так, чтобы гласный стал ударным.
3. Разбираем слово:

 прощай
 корень: прощ
 проверочное слово: про́ще

Вывод: В слове "прощай" пишется буква о, так как в проверочном слове "проще" она стоит под ударением.

Ответ: прощай