3. Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит её пополам. Найдите сторону АВ, еслисторона АС равна 18.

3. Рассмотрим треугольник АВС, в котором ВМ - медиана, AD перпендикулярна ВМ и делит её пополам. Пусть точка пересечения AD и BM - точка О. Так как AD перпендикулярна ВМ, то углы AOB и MOD прямые и равны 90°.

Так как медиана ВМ делится пополам в точке О, то BO = OM.

Рассмотрим треугольники AOB и MOD. У них:

BO = OM

угол AOB = углу MOD (как вертикальные)

Значит, треугольники AOB и MOD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что АО = OD, то есть AD - медиана треугольника АВС.

В треугольнике АВС медиана ВМ является высотой (так как AD перпендикулярна ВМ). Если медиана треугольника является высотой, то этот треугольник - равнобедренный, то есть АВ = ВС.

Так как АВ = АС (дано), то АВ = АС = 18.

Ответ: 18