8.49. Прямая х = 2 является осью симметрии графика функции f(x)= -x^2+(a^2+4)x +2. Найдите координаты вершины параболы.

Если прямая $$x = 2$$ является осью симметрии графика функции $$f(x) = -x^2 + (a^2 + 4)x + 2$$, то абсцисса вершины параболы равна 2.

Для квадратичной функции $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ абсцисса вершины определяется по формуле:

$$x_v = -\frac{b}{2a}$$

В нашем случае, $$a = -1$$ и $$b = a^2 + 4$$. Подставляем эти значения в формулу для абсциссы вершины:

$$x_v = -\frac{a^2 + 4}{2(-1)} = \frac{a^2 + 4}{2}$$

Так как $$x_v = 2$$, получаем уравнение:

$$\frac{a^2 + 4}{2} = 2$$

Решаем уравнение относительно $$a$$:

$$a^2 + 4 = 4$$

$$a^2 = 0$$

$$a = 0$$

Теперь мы знаем, что $$a = 0$$, и можем записать функцию:

$$f(x) = -x^2 + (0^2 + 4)x + 2 = -x^2 + 4x + 2$$

Чтобы найти ординату вершины, подставим $$x_v = 2$$ в функцию:

$$y_v = f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 2 = -4 + 8 + 2 = 6$$

Таким образом, координаты вершины параболы $$(2; 6)$$.

Ответ: Координаты вершины параболы равны (2; 6).