8. Прямая, параллельная стороне ВС треугольника АВС, пересекает стороны АС и АВ в точках Р и Т соответственно, ТР = 14, ВС = 21. Найдите периметр ТВСР, если периметр АВС равен 96.

Пошаговое решение:

• Так как ТР параллельна ВС, треугольники АТР и АВС подобны.
• Коэффициент подобия k = TP/BC = 14/21 = 2/3.
• Обозначим стороны треугольника ABC как AB = c, BC = a, AC = b. Тогда периметр ABC равен P(ABC) = a + b + c = 96.
• Стороны треугольника ATP относятся к сторонам ABC как 2/3. Значит, AT = (2/3)c, AP = (2/3)b.
• Сторона TB = AB - AT = c - (2/3)c = (1/3)c.
• Сторона PC = AC - AP = b - (2/3)b = (1/3)b.
• Периметр ТВСР равен TB + BC + PC + TP = (1/3)c + a + (1/3)b + 14 = (1/3)(b + c) + a + 14.
• Так как a + b + c = 96, то b + c = 96 - a. Тогда (1/3)(96 - a) + a + 14 = 32 - (1/3)a + a + 14 = (2/3)a + 46.
• Мы знаем, что a = BC = 21. Подставляем: (2/3) * 21 + 46 = 14 + 46 = 60.

Ответ: 60