Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Е и F соответственно. Известно, что АВ=20, ВС=12, AC=25, AE=14, CF=2. Найдите длину отрезка EF.

По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой EF:

$$ \frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CA}{AA} = 1 $$

EB = AB - AE = 20 - 14 = 6

$$ \frac{14}{6} \cdot \frac{BF}{2} \cdot \frac{AC}{CA} = 1 $$

\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CA}{AA} = 1 $$

$$ \frac{14}{6} \cdot \frac{BF}{2} = 1 $$

$$ BF = \frac{12}{14} = \frac{6}{7} $$

$$ BC = 12 $$

FС = 2, тогда BF = 12-2 = 10

По теореме косинусов:

$$ AC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cosB $$

$$ 25^2 = 20^2 + 12^2 - 2*20*12*cosB $$

$$ 625 = 400 + 144 - 480*cosB $$

$$ 81 = -480*cosB $$

$$ cosB = -\frac{81}{480} $$

$$ EF^2 = AE^2 + BF^2 - 2AE * BF cosB $$

$$ EF^2 = 14^2 + 10^2 - 2*14*10 (-\frac{81}{480}) $$

$$ EF^2 = 196 + \frac{46872}{480} $$

$$ EF^2 = 196 + 100 + 2* 14*\frac{6}{7} *(- \frac{81}{480}) = $$

$$ EF = \sqrt{404,94} $$

Ответ: \sqrt{404,94}