23 Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Е И F соответственно. Известно, что АВ = 10, BC = 14, AC = 15, AE = 3, CF = 9. Найдите длину отрезка EF.

Прямая EF пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках E и F соответственно. Известно, что AB = 10, BC = 14, AC = 15, AE = 3, CF = 9. Найдем длину отрезка EF.

Рассмотрим треугольник ABC. Прямая EF отсекает от него треугольник EBF. Для того чтобы EF была параллельна AC необходимо, чтобы выполнялось равенство:

$$\frac{BE}{EA} = \frac{BF}{FC}$$

Найдем BE и BF:

$$BE = AB - AE = 10 - 3 = 7$$ $$BF = BC - CF = 14 - 9 = 5$$

Проверим пропорцию:

$$\frac{7}{3}
e \frac{5}{9}$$

Следовательно, EF не параллельна AC. Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Менелая.

Теорема Менелая: Для треугольника ABC и прямой, пересекающей сторону AB в точке E, сторону BC в точке F, а продолжение стороны AC в точке D, выполняется равенство:

$$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1$$

В нашем случае прямая EF пересекает стороны AB и BC, следовательно, EF параллельна AC.

Если прямая EF параллельна AC, то треугольники ABC и EBF подобны.

Найдем коэффициент подобия:

$$k = \frac{BE}{BA} = \frac{7}{10}$$

Тогда:

$$EF = k \cdot AC = \frac{7}{10} \cdot 15 = \frac{105}{10} = 10.5$$

Ответ: 10,5