Прямая проходит через середину диагонали AC параллелограмма ABCD и пересекает стороны BC и AD соответственно в точках M и K. Докажите, что четырёхугольник AMCK — параллелограмм.

Пусть \(O\) — середина диагонали \(AC\). Прямая \(MK\) проходит через точку \(O\), поэтому точки \(M,O,K\) лежат на одной прямой.

В четырёхугольнике \(AMCK\) диагонали — это \(AC\) и \(MK\). Они пересекаются в точке \(O\) и делятся этой точкой пополам: \(O\) — середина \(AC\) по условию, а поскольку \(ABCD\) — параллелограмм и \(MK\parallel AD\parallel BC\), из подобия треугольников \(AOK\) и \(COM\) следует \(OK=OM\).

Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, \(AMCK\) — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.