Прямая проходит через середину диагонали АС пара- лелограмма ABCD и пересекает стороны ВС и А в точках МиК соответственно. Докажите, что чет рехугольник АМСК — параллелограмм.

Доказательство:

1. Пусть O - середина диагонали AC. Прямая, проходящая через O, пересекает BC в точке M и AD в точке K.

2. Так как ABCD - параллелограмм, то BC || AD. Следовательно, углы между прямой KM и сторонами BC и AD равны: $$∠MOC = ∠KOA$$ (как вертикальные углы).

3. Рассмотрим треугольники MOC и KOA. У них:

$$OC = OA$$ (так как O - середина AC),

$$∠MOC = ∠KOA$$ (как вертикальные углы),

$$∠OCM = ∠OAK$$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей AC).

4. Следовательно, треугольники MOC и KOA равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

5. Из равенства треугольников следует равенство сторон: $$OM = OK$$, то есть O - середина MK.

6. В четырехугольнике AMCK диагонали AC и MK пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Следовательно, AMCK - параллелограмм (по признаку параллелограмма).

Таким образом, доказано, что четырехугольник AMCK - параллелограмм.

Ответ: Доказано