7.4. Прямоугольник разрезан на равные квадраты. Для каждого из квадратов посчитали количество квадратов разрезания, имеющих с данным квадратом общую сторону. Все посчитанные числа сложили и получили сумму, равную 208. Найдите количество квадратов разрезания, если известно, что по крайней мере один из них не имеет общих точек с границами прямоугольника.

Если один из квадратов не имеет общих точек с границами прямоугольника, значит, он находится внутри прямоугольника. Каждый такой квадрат имеет 4 соседних квадрата, имеющих с ним общую сторону.

Пусть всего n квадратов. Каждый квадрат, находящийся не на границе прямоугольника, будет посчитан 4 раза. Каждый квадрат, находящийся на границе, но не в углу, будет посчитан 3 раза. Каждый квадрат, находящийся в углу, будет посчитан 2 раза.

Пусть x - количество квадратов, находящихся внутри прямоугольника. Пусть y - количество квадратов, находящихся на границе, но не в углу. Пусть z - количество квадратов, находящихся в углу.

Тогда $$4x + 3y + 2z = 208$$.

Сумма всех квадратов $$x + y + z = n$$.

Если прямоугольник разрезан на квадраты, то количество квадратов должно быть не менее 4. Если всего 4 квадрата, то каждый из них находится в углу. Тогда $$x = 0, y = 0, z = 4$$. $$4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 4 = 8
eq 208$$. Значит, квадратов больше 4.

Ответ: 52 квадрата.