3. Прямоугольный треугольник с катетами 4 см и 5 см вращается вокруг большего катета. Найдите площадь полной поверхности полученной фигуры вращения.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета получается конус. Больший катет является высотой конуса, меньший катет — радиусом основания конуса, а гипотенуза — образующей конуса.

Больший катет равен 5 см, меньший катет равен 4 см.

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: $$S = S_{осн} + S_{бок}$$.

Площадь основания конуса $$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$$ (см²).

Для нахождения площади боковой поверхности нужно знать образующую конуса. По теореме Пифагора $$l = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$$ (см).

Площадь боковой поверхности конуса $$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 4 \cdot \sqrt{41} = 4\pi\sqrt{41}$$ (см²).

Площадь полной поверхности конуса равна $$S = 16\pi + 4\pi\sqrt{41} = 4\pi(4 + \sqrt{41})$$ (см²).

Ответ: $$4\pi(4 + \sqrt{41})$$ см²