5. Треугольник со сторонами 4 см и 12 см и углом 120° между ними вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объем полученной фигуры вращения.

При вращении треугольника со сторонами 4 см и 12 см и углом 120° между ними вокруг меньшей стороны получается фигура, состоящая из двух конусов, основания которых совпадают.

Пусть сторона 4 см - это сторона $$a$$, сторона 12 см - это сторона $$b$$, угол между ними - $$\gamma = 120°$$.

Объём фигуры вращения будет равен сумме объёмов двух конусов: $$V = V_1 + V_2$$.

Найдём высоту $$h$$, проведённую к стороне $$a$$, которая является радиусом оснований обоих конусов.

Площадь треугольника можно вычислить как $$S = \frac{1}{2} a b \sin(\gamma)$$.

Также, $$S = \frac{1}{2} a h$$, где $$h$$ - высота, проведённая к стороне $$a$$.

Следовательно, $$\frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} a b \sin(\gamma)$$, откуда $$h = b \sin(\gamma) = 12 \sin(120°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$ см.

Теперь определим, на какие отрезки делится сторона $$a = 4$$ см высотой $$h$$. Найдём второй катет образовавшегося прямоугольного треугольника: $$x = b \cos(\gamma) = 12 \cos(120°) = 12 \cdot (-\frac{1}{2}) = -6$$.

Так как косинус отрицательный, то высота проходит вне треугольника, поэтому отрезки на стороне 4 см равны $$6 + 4 = 10$$ см и $$6$$ см соответственно.

Объём первого конуса $$V_1 = \frac{1}{3} \pi h^2 x = \frac{1}{3} \pi (6\sqrt{3})^2 \cdot 10 = \frac{1}{3} \pi 108 \cdot 10 = 360\pi$$

Объём второго конуса $$V_2 = \frac{1}{3} \pi h^2 x = \frac{1}{3} \pi (6\sqrt{3})^2 \cdot 6 = \frac{1}{3} \pi 108 \cdot 6 = 216\pi$$

Общий объем равен $$V = |360\pi - 216\pi| = 144\pi$$.

Ответ: $$144\pi$$ см³