4. Развертка боковой поверхности конуса — круговой сектор с углом 120°. Найдите объем конуса, учитывая, что его высота равна 8 см.

Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор с углом 120°. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса. Отношение угла сектора к 360° равно отношению радиуса основания конуса к образующей конуса.

Пусть $$r$$ — радиус основания конуса, $$l$$ — образующая конуса. Тогда $$\frac{120}{360} = \frac{r}{l}$$, откуда $$\frac{1}{3} = \frac{r}{l}$$, то есть $$l = 3r$$.

Высота конуса равна 8 см. По теореме Пифагора $$l^2 = r^2 + h^2$$, где $$h$$ — высота конуса. Подставим $$l = 3r$$ и $$h = 8$$: $$(3r)^2 = r^2 + 8^2$$

$$9r^2 = r^2 + 64$$

$$8r^2 = 64$$

$$r^2 = 8$$

$$r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ (см).

Объем конуса вычисляется по формуле $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$.

Подставим известные значения: $$V = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{2})^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 8 \cdot 8 = \frac{64\pi}{3}$$ (см³).

Ответ: $$\frac{64\pi}{3}$$ см³