558. Прямые a и b пересечены параллельными прямыми AA₁, BB₁, CC₁, причём точки A, B и C лежат на прямой a, а точки A₁, B₁ и C₁ — на прямой b. Докажите, что \(\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}\).

Доказательство: Проведем через точку A₁ прямую c || a. Пусть прямая BB₁ пересекает c в точке K, а прямая CC₁ пересекает c в точке L. Тогда AB = A₁K (как противоположные стороны параллелограмма ABA₁K) и BC = K₁L (как противоположные стороны параллелограмма BCK₁L). Рассмотрим \(\triangle A_1B_1K\) и \(\triangle A_1C_1L\). У них \(\angle B_1A_1K = \angle C_1A_1L\) (общий угол). Так как AA₁ || BB₁ || CC₁, то \(\angle A_1B_1K = \angle A_1C_1L\) (как соответственные углы при параллельных прямых BB₁ и CC₁ и секущей b). Следовательно, \(\triangle A_1B_1K \sim \triangle A_1C_1L\) (по двум углам). Отсюда следует пропорция: \(\frac{A_1B_1}{A_1C_1} = \frac{A_1K}{A_1L}\) \(\frac{A_1B_1}{A_1C_1} = \frac{AB}{BC}\) Следовательно, \(\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}\), что и требовалось доказать.