5. Прямые касаются окружности в точках K и T. Центр окружности - точка O. Найдите угол NMK, если радиус окружности ON равен 7 см, а отрезок MO равен 14 см

Рассмотрим треугольник OMN. ON - радиус окружности, равный 7 см. MO = 14 см. Значит, ON = 1/2 MO. Следовательно, угол OMN = 30° (т.к. катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы). Так как MK - касательная, то угол OKM = 90°. Рассмотрим четырехугольник OKMT. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Угол KOT = 360° - (угол OKM + угол OTM + угол KMT). Т.к. OK и OT - радиусы, а MK и MT - касательные, то OK перпендикулярна MK и OT перпендикулярна MT. Значит, угол OKM = углу OTM = 90°. Пусть угол KMT = x. Тогда угол KOT = 360° - (90° + 90° + x) = 180° - x. Треугольник OKM = треугольнику OTM (OK = OT как радиусы, OM - общая сторона). Значит, угол OMK = углу OMT = x/2. Ранее мы выяснили, что угол OMN = 30°. Тогда угол NMK = угол OKM - угол OMN = x/2 = 30°. Отсюда следует x = 60°.