333 Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах B и C треугольника ABC, пересекаются в точке O. Найдите угол BOC, если угол A равен \(\alpha\).

Обозначим внешние углы при вершинах B и C как \(\angle B'\) и \(\angle C'\) соответственно. Тогда: \(\angle B' = 180^\circ - \angle B\) \(\angle C' = 180^\circ - \angle C\) Так как BO и CO - биссектрисы внешних углов, то: \(\angle OBC = \frac{1}{2} (180^\circ - \angle B) = 90^\circ - \frac{\angle B}{2}\) \(\angle OCB = \frac{1}{2} (180^\circ - \angle C) = 90^\circ - \frac{\angle C}{2}\) В треугольнике BOC сумма углов равна 180°: \(\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ\) \(\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB)\) \(\angle BOC = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\angle B}{2} + 90^\circ - \frac{\angle C}{2})\) \(\angle BOC = \frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2}\) \(\angle BOC = \frac{\angle B + \angle C}{2}\) Так как \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\), то \(\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A\) \(\angle BOC = \frac{180^\circ - \angle A}{2} = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}\) Подставляем \(\angle A = \alpha\): \(\angle BOC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\) Ответ: \(\angle BOC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\)