569 Пусть а, b, c – стороны треугольника, Р – периметр тре- угольника, r – радиус вписанной окружности, S – площадь треугольника. Найдите: a) r, если Р = 56, S = 84; б) Ѕ, если Р = 144, r = 3,5; в) а, если в = 15, c = 20, r = 2, S = 42.

Радиус вписанной окружности в треугольник равен отношению площади треугольника к полупериметру: $$r = \frac{S}{p}$$, где p = P / 2 – полупериметр.

Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: $$S = p \cdot r$$

а) Дано: P = 56, S = 84. Найти r.

$$p = \frac{P}{2} = \frac{56}{2} = 28$$

$$r = \frac{S}{p} = \frac{84}{28} = 3$$

Ответ: 3

б) Дано: P = 144, r = 3,5. Найти S.

$$p = \frac{P}{2} = \frac{144}{2} = 72$$

$$S = p \cdot r = 72 \cdot 3.5 = 252$$

Ответ: 252

в) Дано: b = 15, c = 20, r = 2, S = 42. Найти a.

$$S = p \cdot r$$

$$42 = p \cdot 2$$

$$p = \frac{42}{2} = 21$$

Полупериметр равен сумме всех сторон, деленной на 2: $$p = \frac{a + b + c}{2}$$

$$21 = \frac{a + 15 + 20}{2}$$

$$42 = a + 35$$

$$a = 42 - 35 = 7$$

Ответ: 7