Пусть $m$ случайно выбирается из множества чисел $\{10; 16\}$, $n$ — случайно выбирается из множества чисел $\{2; 3; 4\}$, а $k$ — целое число, случайно выбранное из отрезка $[-2; 2]$. Какова вероятность того, что дробь $\sqrt{\dfrac{m+k}{n}}$ является рациональным числом?

Question

Вопрос: $Фото задания: Пусть $m$ случайно выбирается из множества чисел $\{10; 16\}$, $n$ — случайно выбирается из множества чисел \(\{2; 3;…$ Фото задания

Пусть $m$ случайно выбирается из множества чисел $\{10; 16\}$, $n$ — случайно выбирается из множества чисел $\{2; 3; 4\}$, а $k$ — целое число, случайно выбранное из отрезка $[-2; 2]$. Какова вероятность того, что дробь $\sqrt{\dfrac{m+k}{n}}$ является рациональным числом?

Accepted Answer

Предполагаем, что все допустимые значения выбираются равновероятно и независимо. Всего сочетаний $2\cdot3\cdot5=30$.

Корень из рационального числа рационален тогда и только тогда, когда подкоренное выражение является квадратом рационального числа. Проверим варианты:

При $m=10$: для $n=2$ подходит $k=-2$, так как $\frac{10-2}{2}=4$; для $n=3$ подходит $k=2$, так как $\frac{10+2}{3}=4$; для $n=4$ подходит $k=-1$, так как $\frac{10-1}{4}=\frac94$. Итого 3 случая.
При $m=16$: для $n=2$ подходит $k=2$, так как $\frac{16+2}{2}=9$; для $n=4$ подходит $k=0$, так как $\frac{16}{4}=4$. При $n=3$ подходящих значений нет. Итого 2 случая.

Благоприятных сочетаний $3+2=5$, поэтому искомая вероятность равна $\dfrac{5}{30}=\dfrac16$.

Ответ: $\dfrac16$.